Capital acumulado con capital inicial, aportaciones mensuales anticipadas e interés capitalizado cada mes — con la aportación fija o subiendo con la inflación.
El objetivo: calcular el capital tras
1 ·. Planteamiento y convenciones
El capital inicial
| Momento | Aportación nominal | Poder adquisitivo |
|---|---|---|
| Mes 0 | c (junto a C₀) | c |
| Mes 1 | c (1 + im) | c |
| Mes 2 | c (1 + im)² | c |
| Mes j | c (1 + im)j | c |
| Mes n | — se evalúa CN — |
La tabla muestra el Escenario B (la aportación sube con la inflación, su valor real se mantiene en
2 ·. Definiciones
Variables
R
interés nominal anual (%), tal como lo cotiza el banco (TIN)
r
tipo de interés mensual = R / 1200
i
inflación anual (efectiva)
im
inflación mensual = (1 + i)1/12 − 1
ρ
tipo de interés real mensual (relación de Fisher) — ver más abajo
c
aportación mensual, medida en euros de hoy
C₀
capital inicial, colocado en el mes 0
N, n
número de años; meses totales n = 12 N
Nominal y real
Nominal = los euros que figuran en la cuenta en la fecha futura, sin ajustar por nada. Real = ese mismo dinero expresado en poder adquisitivo de hoy: cuántos bienes comprarías hoy con esa cantidad. La conversión entre ambos es la inflación acumulada:
Ejemplo (con
De dónde sale
La inflación anual
No sirve
El tipo de interés real
Es el tipo mensual que descuenta la inflación del rendimiento. Aparece en cuanto se combinan
Con los datos del ejemplo:
Identidades auxiliares
Se usan constantemente en los apartados siguientes:
3 ·. Escenario base — sin inflación
Si no hubiera inflación — o si solo miramos euros nominales — el capital es una renta anticipada clásica. La aportación del mes
Los Escenarios A y B parten de aquí: A deflacta este resultado al final; B además cambia el importe de la aportación cada mes.
4 ·. Escenario A — aportación nominal constante
Aportas siempre c euros nominales, mes tras mes. Es el punto de partida; el poder adquisitivo de lo que aportas va cayendo con los años.
-
Capital nominal
Idéntico al Escenario base, porque la aportación no cambia:
-
A euros de hoy
Como las aportaciones no crecen, no hay simplificación por un tipo real: se deflacta el montante entero por la inflación acumulada
:
Con
Por qué
Toda aportación se capitaliza hacia adelante hasta el mes n, la fecha en que se evalúa el capital. El importe total resultante vive entero en el mes n; llevarlo a euros de hoy es dividir una sola vez por la inflación acumulada de esos n meses:
El mes j en que se hizo cada aportación solo determina cuánto interés acumula; el factor de deflación es el mismo para todas:
capitalización ×(1+r)^(n−j) depende del mes j de cada aportación deflación ÷(1+i_m)^n la MISMA para las n aportaciones
Aportación por aportación, en euros de hoy — el divisor
Al sacar
La descomposición por término que sí es válida
Partiendo
Lectura:
Llevado al sumatorio completo (con
Es una renta geométrica decreciente al tipo real
El error de deflactar término a término
Si en el sumando
# n = 2 meses · c = 100 · r = 1 %/mes · i_m = 0,5 %/mes · C₀ = 0 contabilidad real, mes a mes mes 0 ingresas 100 → saldo 100,00 mes 1 100·1,01 = 101 · ingresas 100 → saldo 201,00 mes 2 201·1,01 → saldo 203,01 (nominal final) precios mes 0 = 1 mes 2 = 1,005² = 1,010025 valor real hoy = 203,01 / 1,010025 = 200,996 €
÷ (1+i_m)^n al total (recuadro) → 200,996 € Escenario A ✓ ÷ (1+i_m)^k término a término → 201,495 € Escenario B diferencia 0,499 € = valor de indexar la 2ª aportación
Si
Con
Ojo: no sale
La riqueza real tiene un techo,
5 ·. Escenario B — aportación indexada
Ahora la aportación del mes j es
-
Flujos nominales
La aportación del mes j vale, en euros nominales:
Todas conservan el mismo poder adquisitivo: c euros de hoy.
-
Capitalización hasta el final
Cada aportación se capitaliza al tipo mensual r durante los n − j meses que le quedan:
-
Capital nominal total
Sumando las n aportaciones y el capital inicial:
El sumatorio es geométrico de razón
. Sacando y aplicando con , queda la forma cerrada: Si
la razón es , el sumatorio vale y . Deflactando por , esta forma cerrada da la fórmula del recuadro (usando ). -
A euros de hoy: aparece el tipo real
Dividimos todo el capital del mes n por la inflación acumulada,
. En cada término, y quedan con el mismo exponente y se combinan en el tipo real del apartado 2: -
Serie geométrica
Con el cambio de índice
, la suma va de 1 a n:
Nota
Qué significa
Indexar las aportaciones a la inflación equivale exactamente a una cuenta de aportación fija c que rinde el tipo real
en lugar del nominal r. La inflación desaparece de la fórmula: trabajas directamente en euros de hoy, con el rendimiento real.
Caso límite:
Si el interés solo empata a la inflación (
Volver a euros nominales
Los euros que de verdad figuran en la cuenta dentro de N años:
6 ·. Comparación y ejemplo numérico
A frente a B
En ambos escenarios cada aportación se capitaliza hasta el mes n y el total se deflacta una sola vez por
B: aportación c·(1+i_m)^j → el (1+i_m)^j cancela j factores del deflactor → deflactor efectivo 1/(1+i_m)^(n−j) por término → renta CONSTANTE al tipo real ρ A: aportación c (fija) → nada que cancele el deflactor → 1/(1+i_m)^n queda como factor común, fuera del Σ → renta DECRECIENTE en términos reales
Por eso la fórmula de B se reduce limpiamente al tipo real
Ejemplo numérico
Datos:
Escenario A — aportación fija de 200 €:
# tipo mensual r = 0,05 / 12 = 0,00416667 (1 + r)^120 = 1,647010
# montante nominal capital inicial 5000 · 1,647010 = 8 235,0 € aportaciones 200 · 1,00416667 · (0,647010 / 0,00416667) = 31 185,9 € C₁₀ (nominal) ≈ 8 235,0 + 31 185,9 = 39 421 €
# a euros de hoy C₁₀ (real) = 39 421 / 1,02^10 = 39 421 / 1,218994 ≈ 32 340 € de hoy
Escenario B — aportación indexada:
# 1 · Tipos mensuales r = 0,05 / 12 = 0,00416667 i_m = 1,02^(1/12) − 1 = 0,00165158
# 2 · Tipo real mensual 1 + ρ = 1,00416667 / 1,00165158 = 1,00251094 ρ = 0,00251094 (≈ 0,251 % mensual)
# 3 · Factor de capitalización real (1 + ρ)^120 = 1,351121
# 4 · Los dos sumandos (euros de hoy) capital inicial 5000 · 1,351121 = 6 755,6 € aportaciones 200 · 1,00251094 · (0,351121 / 0,00251094) = 28 037,6 €
# 5 · Capital real total C₁₀ (real) ≈ 6 755,6 + 28 037,6 ≈ 34 793 € de hoy C₁₀ (nominal) = 34 793 · 1,02^10 ≈ 42 413 €
Los tres escenarios
| Escenario | Nominal | En € de hoy | Aportado |
|---|---|---|---|
| Sin ajustar por inflación | 39 421 € | — | 29 000 € |
| A · aportación fija de 200 € | 39 421 € | 32 340 € | 29 000 € |
| B · aportación indexada | 42 413 € | 34 793 € | ~31 519 € |
C₀ = 5000 €, c = 200 €, R = 5 %, i = 2 %, 10 años.
El Escenario B deja más poder adquisitivo porque en los últimos años aportaste bastante más de 200 € nominales para mantener el esfuerzo real constante.
7 ·. Resumen (chuleta)
Variables
R
interés nominal anual (%), tal como lo cotiza el banco (TIN)
r
tipo de interés mensual = R / 1200
i
inflación anual (efectiva)
im
inflación mensual = (1 + i)1/12 − 1
ρ
tipo de interés real mensual: 1 + ρ = (1 + r)/(1 + im) ≈ 1 + r − im
c
aportación mensual, en euros de hoy
C₀
capital inicial, colocado en el mes 0
N, n
años; meses totales n = 12 N
Aportaciones a principio de mes (renta anticipada); la 1ª entra junto a C₀ en el mes 0; el interés capitaliza a final de mes; el capital se evalúa en el mes n.
Identidades auxiliares
De dónde sale
Nominal ↔ real
Escenario base — sin inflación (renta anticipada)
Escenario A — aportación nominal fija
Nominal: idéntico al caso base. Real (euros de hoy):
Segunda forma: renta geométrica decreciente al tipo real
Escenario B — aportación indexada
Nominal (forma cerrada) y real (renta constante al tipo real
Límites y conversiones
Ejemplo —
r = 0,00416667 i_m = 0,00165158 1 + ρ = 1,00251094 (1+r)^120 = 1,647010 (1+ρ)^120 = 1,351121 (1+i)^10 = 1,218994
nominal € de hoy aportado base / A 39 421 € 32 340 € 29 000 € B 42 413 € 34 793 € ~31 519 €
8 ·. Resumen — versión continua (aproximación
Usando
Diccionario discreto → continuo
(1+r)^n → e^(R·N) porque n·r = N·R (1+i)^N = (1+i_m)^n → e^(i·N) 1+ρ = (1+r)/(1+i_m) → ρ = R − i ← Fisher exacto y aditivo c al mes → C = 12c (flujo continuo, €/año) Σ_k (…)·Δt → ∫₀ᴺ (…) dt i_m = (1+i)^(1/12)−1 → i/12 ← desaparece la raíz doceava
Escenario base — sin inflación
Escenario A — aportación nominal fija
Escenario B — aportación indexada
Límites y conversiones
Ejemplo —
ρ = R − i = 0,03 e^(RN) = e^0,5 = 1,648721 e^(ρN) = e^0,3 = 1,349859 e^(iN) = e^0,2 = 1,221403 e^(−iN) = 0,818731
continuo (e) discreto (arriba) base / A nominal 39 382 € 39 421 € A € de hoy 32 243 € 32 340 € B € de hoy 34 738 € 34 793 € B nominal 42 429 € 42 413 €
La aproximación cae dentro del 0,3 % en este caso; el error crece con
9 ·. Anexo — colección de problemas resueltos
Siete problemas que ejercitan las fórmulas de los apartados 3–8: los directos, los dos escenarios, el caso
1
Renta básica, sin inflación
Aportas 150 €/mes durante 8 años en un depósito al 3 % TIN, sin capital inicial. ¿Cuánto tendrás?
Datos.
, , , . Solución. Fórmula del Escenario base (renta anticipada):
Aportado:
€. Intereses: €.
2
Escenario A — valor real
Tienes 10 000 € y añades 300 €/mes (siempre la misma cantidad) durante 15 años. El fondo renta un 6 % TIN y la inflación es del 3 % anual. ¿Cuál es el capital, nominal y real?
Datos.
, , , , . Solución. Nominal por la fórmula de A, con
:
Real, dividiendo por
:
Aportado:
€.
3
Escenario B — la misma, indexando la aportación
Mismos datos que el problema 2, pero la aportación del mes
es (sube con la inflación). Solución.
; ; .
Indexar aporta
€ más de poder adquisitivo que el Escenario A, a cambio de aportar en total € nominales más.
4
Solo capital inicial (c = 0)
Colocas 20 000 € y no aportas nada más durante 20 años. La inflación es del 2,5 % anual. ¿Qué capital real te queda según la rentabilidad del producto?
Solución. Con
: , con .
R (TIN) ρ mensual Nominal Real (€ hoy) 4 % +0,00127 44 452 € 27 128 € 2,5 % +0,00002 32 957 € 20 113 € 1 % −0,00122 24 426 € 14 906 € Al 4 % el capital real crece; al 2,5 % apenas se mueve — y queda un pelín por encima de 20 000 € porque el TIN 2,5 % repartido en
compone algo más que el 2,5 % efectivo de inflación ( sale ligeramente positivo); al 1 % el capital real cae de 20 000 a 14 906 €, porque el interés no cubre la inflación ( ).
5
Problema inverso: ¿cuánto aportar?
Quieres tener 100 000 € de hoy dentro de 20 años. Partes de 5 000 €, el fondo renta 5 % TIN, la inflación es del 2 % e indexas la aportación (Escenario B). ¿Qué aportación mensual necesitas?
Solución. Despejando
de la fórmula de B:
Con
, , , factor de renta :
Esa aportación sube con la inflación; en euros nominales, el último año rondaría los
€.
6
Problema inverso: ¿cuántos años?
Sin capital inicial, aportas 250 €/mes indexados a la inflación. El fondo da 6 % TIN, la inflación es del 3 %. ¿En cuántos años el capital real alcanza los 60 000 € de hoy?
Solución. De la fórmula de B con
, despejando :
Con
:
Es decir,
meses, o unos 15,6 años. A los 188 meses (15 años y 8 meses) el capital real ya sería €.
7
Aproximación continua frente a discreta
, /mes indexada, 25 años, 7 % TIN, 3 % de inflación (Escenario B). Calcula el capital real por la fórmula mensual exacta y por la aproximación continua, y compara. Discreta.
mensual, :
Continua.
, €/año, :
Diferencia:
€ ( ). La versión continua subestima ligeramente; el error crece con los tipos y con el horizonte.
Sobre r = R/12. Los bancos cotizan el interés como tasa nominal anual capitalizable mensualmente (el TIN), y por definición la mensual es R/12 — no es una aproximación. La inflación, en cambio, se publica como variación efectiva anual, de ahí la raíz doceava en i_m. A tipos de ahorro (2–5 %), usar i/12 en lugar de la raíz mueve el resultado en torno a un 0,1 %.
