Del interés compuesto a la TAE, y los sistemas clásicos de amortización con sus demostraciones.
Una hipoteca es una sola ecuación —el capital prestado es hoy igual al valor actual de todo lo que se devolverá— y una familia de convenios sobre cómo repartir cada pago entre intereses y capital. Este documento deduce esa ecuación, sus factores auxiliares y cada sistema de amortización que se construye sobre ella.
Ley de equivalencia financiera en el origen — la identidad de la que todo deriva
§1. Notación y los tres principios
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| capital prestado (principal) en | |
| tanto de interés efectivo por periodo (tanto por uno) | |
| tanto de interés nominal anual (tanto por uno) | |
| número de periodos (pagos) por año | |
| número total de periodos | |
| índice de un periodo, | |
| factor de descuento, | |
| término amortizativo (cuota total) del periodo | |
| cuota de interés del periodo | |
| cuota de amortización (capital) del periodo | |
| capital vivo (deuda pendiente) tras pagar | |
| capital total amortizado tras |
Cada periodo, la deuda genera un interés
Los tres principios que cumplen todos los sistemas
Cualquier cuadro de amortización con tanto
(P1) Descomposición de la cuota.
(P2) Recurrencia de la deuda. Combinando lo anterior:
(P3) Equivalencia financiera. Resolviendo la recurrencia hacia atrás e imponiendo
(1)
Nota
Consecuencia clave. El valor actual de las cuotas es siempre
, sea cual sea el sistema. Lo único que cambia entre sistemas es cómo se reparte cada entre y y, por tanto, el calendario de la deuda viva y el total de intereses, .
Demostración de (P3).
Por inducción sobre
en (P2). Para : . Paso : Con y , dividiendo por se obtiene (1). ∎
Regla general para el capital vivo
(2)
(3)
Equivalencia.
Partimos de (1) escrita como
y multiplicamos por : El primer sumatorio del segundo miembro es el término restado en (2); despejando queda exactamente (3). ∎
§2. Interés simple y compuesto
Interés simple
Los intereses se calculan siempre sobre el capital inicial; no se acumulan. Con
Se usa a corto plazo: intereses de demora, descuento comercial y —dentro de cada periodo de una hipoteca— el cálculo del interés devengado.
Interés compuesto
Los intereses se acumulan al capital (capitalizan) y a su vez generan intereses:
| Años | Simple | Compuesto |
|---|---|---|
| 1 | 10 400,00 | 10 400,00 |
| 5 | 12 000,00 | 12 166,53 |
| 20 | 18 000,00 | 21 911,23 |
| 30 | 22 000,00 | 32 433,98 |
10.000 € al 4 % anual — interés simple frente a compuesto.
§3. Tipos nominal, efectivo y equivalentes
Dos tipos son equivalentes si producen el mismo montante final sobre el mismo capital en el mismo tiempo, aunque capitalicen con distinta frecuencia.
Del nominal al efectivo del periodo
El TIN se reparte linealmente entre los
Ej.: TIN 3 % mensual
Del efectivo del periodo al efectivo anual
Aquí sí se compone:
Ej.:
Entre dos frecuencias cualesquiera
Capitalización continua (límite
§4. Valor temporal del dinero y rentas
Un euro hoy vale más que un euro mañana porque el de hoy puede invertirse.
Valor actual neto de una serie de flujos
Renta constante, inmediata, pospagable
Sucesión de
(4)
(5)
Deducción de (4).
Suma geométrica de razón
:
Variantes
- Prepagable (pagos a principio de periodo): multiplicar por
. - Diferida
periodos: multiplicar el valor actual por . - Perpetua pospagable (
): . - Creciente geométrica de razón
: si , y si .
§5. TIN y TAE
TIN — Tipo de Interés Nominal
Porcentaje anual «de etiqueta». No incluye comisiones ni gastos. Para operar se convierte en tipo del periodo con
TAE — Tasa Anual Equivalente
Coste (o rendimiento) efectivo anual de la operación, como interés compuesto anual, incluyendo comisiones y gastos inherentes obligatorios. Es la tasa que iguala el valor actual de todo lo recibido con el de todo lo pagado:
(6)
con
Sin comisiones ni gastos, (6) se reduce a:
Nota
Qué entra en la TAE (hipotecas, criterio habitual en España): comisión de apertura y gastos obligatorios repercutidos que la entidad conozca. Qué no: impuestos, notaría, registro y gestoría cuando la ley los asigna al banco; seguros no impuestos por el préstamo; gastos por incumplimiento (demora, amortización anticipada). La normativa concreta cambia con el tiempo; la fórmula —TIR de los flujos— no.
§6. Marco común de los sistemas de amortización
Todos los sistemas parten de (P1)–(P3) del §1. Difieren solo en la ley que fija
Y en todos ellos se conserva el invariante
Las secciones §7–§12 recorren las leyes clásicas; §13 las compara.
§7. Sistema francés
Definición. Término amortizativo
7.1 · Deducción del término amortizativo
Aplicando (1) con
(7)
Vía recurrencia (equivalente).
Iterando (P2) con
: . Imponiendo : , que reordenada es (7). ∎
7.2 · Primera cuota de amortización
Sustituyendo
Resultado 1
7.3 · Las cuotas de amortización crecen geométricamente de razón
Demostración.
Para dos periodos consecutivos:
luego . ∎
Resultado 2
Comprobación
(la suma de amortizaciones debe ser
):
7.4 · Capital amortizado y capital vivo
Capital vivo, forma cerrada.
; sustituyendo :
Resultado 3 · retrospectivo = prospectivo
: la deuda viva es el valor actual de las cuotas que faltan. Es la particularización de (2) ≡ (3) para cuota constante.
7.5 · Cuotas de interés y su suma
Decrecientes, de
7.6 · Punto de reparto 50 % / 50 %
| Escenario | Cruce | % del plazo |
|---|---|---|
| TIN 2 %, 30 años | antes del mes 1 | — |
| TIN 3 %, 25 años | mes ≈ 24 | 8 % |
| TIN 3 %, 30 años | mes ≈ 84 | 23 % |
| TIN 5 %, 25 años | mes ≈ 135 | 45 % |
| TIN 6 %, 30 años | mes ≈ 223 | 62 % |
El cruce
La idea popular de «los primeros años pagas casi solo intereses» está calibrada para los tipos altos (6–8 %) de décadas pasadas. Con tipos del 2–3 % el reparto se equilibra pronto, aunque la deuda viva siga bajando despacio.
7.7 · Casos límite
| Límite | ||||
|---|---|---|---|---|
§8. Sistema italiano / lineal
Definición. Cuota de amortización
8.1 · Deducción
8.2 · Estructura
- Primera cuota (mayor):
. - Última cuota (menor):
. - Los términos decrecen en progresión aritmética de razón
. - La deuda viva decrece linealmente — de ahí «lineal».
8.3 · Suma de intereses
Demostración
Resultado 4
Nota
Interpretación. Es el interés
aplicado al saldo medio de la operación. El saldo inicial de cada periodo recorre ; su media es , y da la misma cifra.
§9. Sistema americano / inglés
Definición. Durante
9.1 · Americano simple
\ a_k = i\C_0 \\(k < n), \qquad a_n = i\C_0 + C_0, \qquad C_k = C_0 \\(k
\ A_k = 0 \\(k
Comprobación de (P3).
Es el sistema que más intereses paga con el mismo
9.2 · Americano con fondo de amortización (sinking fund)
Además de pagar al prestamista el interés
Desembolso periódico total:
Identidad notable
Si
: , exactamente la cuota francesa. El francés es un americano con fondo cuyo tanto de reinversión coincide con el del préstamo.
Cuando
Nota
«Método inglés». En parte de la literatura española designa el americano con fondo (préstamo a interés + imposición a plazo); en otra parte, el americano simple. Conviene declarar siempre a cuál se refiere el contrato.
§10. Sistema alemán
Definición (acepción financiera estricta). Los intereses se pagan por anticipado (al principio de cada periodo, sobre la deuda de ese periodo) y la amortización es constante,
10.1 · Tanto anticipado y su relación con el vencido
Si se presta 1 u.m. con interés cobrado anticipado al tanto
10.2 · Cuadro
Al inicio del periodo
misma estructura que el italiano pero con
§11. Términos en progresión geométrica
Modela cuotas crecientes (o decrecientes) a tasa fija — p. ej. la cuota sube un 2 % cada año.
Definición.
11.1 · Deducción del primer término
Por (1), con
Caso
(8)
Caso
Comprobaciones.
(cuota constante) en (8): , el sistema francés. con : , pago único. ∎
11.2 · Capital vivo
Prospectivo (§1): las
Amortización negativa
Si
es grande o queda muy bajo puede ocurrir : la deuda crece en los primeros periodos. Condición para amortizar desde el principio: . En la práctica se comprueba numéricamente cuota a cuota.
§12. Términos en progresión aritmética
Definición.
12.1 · Valor actual de la renta aritmética
Necesitamos
Demostración
Resultado 5
12.2 · Deducción del primer término
Por (1):
(9)
Comprobaciones.
: , francés. : tras simplificar, , italiano. ∎
12.3 · Capital vivo
§13. Comparativa formal entre sistemas
Mismos
13.1 · Total de intereses
| Sistema | Ejemplo (€) | |
|---|---|---|
| Americano simple | 112 500,00 | |
| Francés | 63 395,09 | |
| Italiano / lineal | 56 437,50 | |
| Alemán (mismo | 56 296,88 |
Ejemplo:
Americano > Francés > Italiano
Prueba de Francés > Italiano.
Ambos tienen el mismo valor actual de cuotas
y el mismo número de pagos. El italiano amortiza a ritmo constante: es lineal en . La deuda francesa es cóncava en : Ambas curvas coinciden en los extremos ( , ), y una función cóncava queda por encima de su cuerda —que es justamente la recta del italiano. Luego , estricto en el interior. Como , se sigue . ∎
Comprobación con el ejemplo: en
Prueba de Americano > Francés.
En el americano
para todo , el máximo posible; cualquier sistema con tiene . Luego su suma de intereses es la mayor. ∎
13.2 · Perfil de la deuda viva
13.3 · Perfil de la cuota
| Sistema | Forma de |
|---|---|
| Francés | constante |
| Italiano | decreciente lineal (empieza alta, acaba baja) |
| Americano | |
| Geométrico ( | creciente exponencial |
| Aritmético ( | creciente lineal |
13.4 · Qué sistema conviene
Sin recomendación personalizada; solo la lógica financiera:
- Francés — cuota estable y predecible; a cambio, más intereses totales y amortización lenta al principio. Es el estándar hipotecario.
- Italiano — menos intereses y desendeudamiento más rápido; exige soportar cuotas iniciales más altas (≈ +25–35 % sobre
en plazos largos). - Americano — solo tiene sentido si el capital rinde más que
, o con un fondo bien remunerado; en consumo minorista es el más caro.
§14. Carencia
Periodo inicial de
Carencia parcial (se pagan los intereses)
Durante la carencia:
Carencia total (no se paga nada; los intereses capitalizan)
La deuda crece: al final de la carencia
Encarece notablemente el préstamo: se pagan «intereses sobre intereses».
§15. Tipo variable: Euríbor + diferencial
- Índice habitual: Euríbor a 12 meses (media mensual). También IRPH u otros.
- El diferencial es fijo y contractual (p. ej. Euríbor + 0,99 %).
- Revisión típica: anual o semestral. El plazo no cambia; cambia la cuota.
Recálculo en cada revisión (fecha
-
Se toma el capital pendiente
(calculado con el tipo antiguo). -
Plazo residual
periodos. -
Nuevo tipo del periodo
. -
Nueva cuota:
-
Cuadro francés normal con
hasta la siguiente revisión.
Mixtas: primeros años a tipo fijo, resto a variable — dos tramos encadenados aplicando el recálculo anterior en el punto de cambio.
§16. Amortización anticipada
El cliente entrega un importe extra
(a) Reducir plazo — mantener la cuota
(b) Reducir cuota — mantener el plazo
Alivia el pago mensual; ahorra menos intereses que (a).
Nota
En España la comisión por amortización anticipada está limitada por ley (topes distintos según tipo fijo o variable y el momento del préstamo); se pacta en contrato. El ahorro neto es
.
§17. Comisiones, gastos y TAE efectiva
La TAE es la TIR anual de la corriente real de caja del cliente.
Flujos (punto de vista del cliente)
t = 0: + C0 − comisión de apertura (si computa) − otros gastos iniciales computables
t = k: − a_k para k = 1 … n
t = n: − comisiones finales computables (si las hubiera)
Ecuación
Se busca la tasa por periodo
donde
Nota
Efecto de las comisiones. Una comisión de apertura equivale a recibir menos capital del que se devuelve ⇒ sube la TAE por encima del equivalente del TIN. Cuanto más corto el plazo, más pesa una comisión fija sobre la TAE.
§18. Métodos numéricos para la TIR
La ecuación de la TAE no tiene solución cerrada para
Interpolación lineal (la de los manuales)
Se calcula el VAN a dos tipos
Newton–Raphson (el de Excel TIR / TASA)
Con
Converge en 3–5 iteraciones a doble precisión.
Bisección (respaldo robusto)
Localizar
Nota
La normativa (Directiva UE 2014/17, 2008/48/CE; Circular 5/2012 del Banco de España) da la ecuación y dice «por aproximaciones sucesivas», sin imponer método. Recomendación de implementación: Newton–Raphson + bisección como red de seguridad — rápido cuando puede, garantizado siempre. Redondear la TAE solo al final.
§19. Convenciones de conteo de días
El interés de un periodo real depende de la convención (day count) del contrato:
| Convención | Fracción de año | Uso típico |
|---|---|---|
| Actual/360 | días reales / 360 | hipotecas y préstamos en España |
| Actual/365 | días reales / 365 | alternativa, algo menos de interés |
| 30/360 | (meses·30 + días) / 360 | bonos; todos los meses «valen» 30 |
| Actual/Actual | días reales / días del año | deuda pública |
Con Actual/360, un año natural tiene 365–366 días, así que se cobran
§20. Ejemplo numérico completo
Datos:
Cuota (sistema francés)
| k | Cuota | Interés | Amortiz. | Pendiente |
|---|---|---|---|---|
| 0 | — | — | — | 150 000,00 |
| 1 | 711,32 | 375,00 | 336,32 | 149 663,68 |
| 2 | 711,32 | 374,16 | 337,16 | 149 326,53 |
| 3 | 711,32 | 373,32 | 338,00 | 148 988,52 |
| 60 | 711,32 | 321,62 | 389,70 | 128 258,21 |
| 120 | 711,32 | 258,64 | 452,68 | 103 002,59 |
| 240 | 711,32 | 100,49 | 610,82 | 39 586,47 |
| 300 | 711,32 | 1,77 | 709,54 | 0,00 |
Extracto del cuadro de amortización.
Totales
TAE
- Sin comisiones:
. - Con comisión de apertura del 0,5 % (750 €) pagada aparte: flujos
en , luego . Newton–Raphson desde da , y .
Amortizar 10 000 € en el mes 60, reduciendo plazo
Se pasa de 240 a ≈ 216 meses restantes: unos 2 años menos de hipoteca y varios miles de euros de intereses ahorrados (menos la comisión que aplique).
§21. Magnitudes transversales
21.1 · Vida media (duración de Macaulay del principal)
| Sistema | Vida media | Ejemplo |
|---|---|---|
| Italiano | 150,5 m ≈ 12,54 a | |
| Francés | ≈ 169 m ≈ 14,09 a | |
| Americano | 300 m = 25 a |
21.2 · Tanto medio / coste efectivo
El
21.3 · Reserva matemática
En cualquier sistema, la reserva matemática en
- liquidar una cancelación anticipada (se paga
+ comisión), - valorar el préstamo en una cesión de cartera,
- calcular la cuota de intereses del periodo siguiente,
.
En el americano con fondo hay que distinguir la reserva frente al prestamista (
§22. Formulario
Notación:
Conversión de tipos
Sistema francés
Italiano / lineal
Americano
\ a_k = i\C_0\ (k
Carencia (
Tipo variable — recálculo en la revisión
Amortización anticipada de
TAE (
Nota
Invariante común a todos los sistemas:
Documento teórico de referencia. No constituye asesoramiento financiero ni recomendación de producto.
Convenciones: notación actuarial, tantos en tanto por uno, sistema francés como referencia salvo indicación. Cifras del ejemplo verificadas numéricamente.
